数学思想是指人们对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识，它直接支配着数学实践活动。在数学教学中，教师除了对学生进行基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养。本文尝试就如何在数学课堂教学中培养学生的数学思想方法作出简要的阐述，以求能够更好地提高学生的数学素养，提高数学教学效率。
　　一、分类讨论的思想方法
　　分类讨论，就是把问题按题目的特点和要求分成若干类，转化成许多单一的问题来解决的一种思想方法，它能够将复杂问题简单化，是一种重要的数学思想方法。初中数学中有许多问题或题设交待笼统，或题意复杂，或包含情况多，往往需要分类讨论。这些问题答案一般不唯一。因此，我们在研究此类问题时，要认真审题，全面考虑。根据数量的差异和位置的差异逐一讨论，做到不重不漏，条理清晰。例如：有理数的定义就是“整数和分数统称为有理数”，体现了分类思想方法，而后了解了实数的定义是“有理数与无理数统称为实数”，所以在学完实数的概念后就可以更深层次的分类：一个数它有可能是有理数，也可能是无理数；如果是有理数，它还可能是整数，也可能是分数。
　　例如：已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图像与轴有交点，则的取值范围是（   ）
　　A.k＜4       B.k≤4        C. k＜4 且k≠3        D. k≤4且k≠3
　　对于本题，题目并没有指明所给函数为什么函数，所以本题应分类讨论，一次函数y=kx+b(k≠0)与x轴必有交点；而二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)只有在b2-4ac≥0时其图像才与轴有交点。
　　又如对于一元二次方程一般式中涉及a≠0的规定，教学时，我让学生理解当a=0与a≠0时，方程会有怎样的变化，在此基础上，让学生说明关于x的一元二次方程mx2-(m-1)x-2(3m-1)=0中m的限制条件，随后进行了概念的变式，将“一元二次”四字隐去，提出这是个怎样的方程，并如何求解。学生经历了对概念中关键字词及补充条件的理解后，很清晰地就会分别按a=0与a≠0两种情况做。
　　二、数形结合的思想方法
　　所谓数形结合，就是把代数式的精确刻画和几何图形的直观描述结合起来，使代数和几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。应用数形结合思想方法，就是要充分考查数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何意义，将数学问题和空间几何图形巧妙结合，并利用这种结合探索解题思路，使问题得到解决。数和形是问题的抽象和概括，图形和图象是问题的具体和直观的反映。数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。例如：点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系是数形结合的具体体现。又如：勾股定理的论证、函数的图象与性质、利用图象求出二元一次方程组的近似解、用三角函数解直角三角形等都是数形结合的典型体现。通过数形结合往往可以使学生不但知其然，还能知其所以然。例如在数轴教学中渗透了“数形结合”思想，在平面直角坐标系中坐标的几何意义若从图形来观察将有助于理解和应用。
　　例如：点P在反比例函数位于第一象限的图象上，过点P作AP垂直x轴于点A，作BP垂直y轴于点B，矩形OAPB的面积为6，则该反比例函数的关系式为________。

　　通过图象观察可知，由于矩形OAPB的面积等于点P的横坐标与纵坐标的绝对值的乘积，而在反比例函数的关系式y=■中，k=xy，因为点P在反比例函数的图象上且矩形OAPB的面积为6，所以|k|=|xy|=6，再根据图象位于第一、三象限，可知k为正数,得到k=6, 该反比例函数的关系式为y=■。
　　又如：设一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m＞0)的两实根分别为a、b,且a＜b，则a、b满足（  ）
　　A.1＜a＜b＜2      B.1＜a＜2＜b      C.a＜1＜b＜2      D.a＜1且b＞2
　　分析：由(x-1)(x-2)=m(m＞0)化简得x2-3x+2-m=0，设二次函数y=x2+3x+2-m，它的开口向上，对称轴为x=1.5，当x=1时，y=-m＜0，当x=2时，y=-6-m＜0，所以y=x2-3x+2-m的图像与x轴的交点在（1，0）、（2，0）之外，又它的两根为a＜b，所以a＞1且b＞2。
　　本题是一元二次方程根的分布问题，关键要构造二次函数，通过数形结合的方法借助二次函数的性质来解决一元二次方程的根的分布问题。可见，数形结合思想是解决问题的重要思想方法之一。在初中数学中，自始至终贯穿着数形结合思想，运用这一思想方法可使题目更加直观、形象，便于数学问题的解决。
　　三、列解方程的思想方法
　　列解方程思想的实质是建立数学模型，即将数学实际问题抽象成数学模型而后解决，解应用题是列解方程思想应用的最突出体现。此外，求函数解析式、利用根的判别式、根与系数的关系求字母系数的值等都运用了列解方程思想。
　　列解方程思想就是对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，列解方程的思维广泛的应用于初中数学多个知识点中，对于一些几何题的计算和证明也非常有用，在解题中，我们常设一些线段或角为未知数x，根据线段或角之间的相互联系，列出方程（组）求解，这样把几何问题转化为代数问题，使问题的解法简单、明了。
　　例如：准备装修一套新房，若甲乙两个装饰公司合做6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家是选甲公司，还是乙公司?请你说明理由。
　　本题是工程问题，可设工作总量为1，可先由甲、乙合做的时间列方程组求出他们各自单独完成该任务的时间，再由它们合做的费用（工钱）列出方程组求得甲、乙各独做完成该任务所需的工钱，通过比较，即可得出答案。设甲公司单独完成需x周，需工钱a万元，乙公司单独完成需y周，需工钱b万元，依题意得：■+■=1■+■=1解之得：x=10，y=15，又由题设得6(■+■)=5.24×■+9×■=4.8解得：a=6，b=4。即甲公司单独完成需6万元，乙公司单独完成需4万元，从节约开支的角度考虑，应选乙公司。
　　近年来，运用列解方程思想方法的题目频频出现，成为中考命题的一大热点，我们要指导学生养成利用这一数学思想方法分析问题和解决问题的习惯，不断提高学生的数学素养。
　　四、迁移转化的思想方法
　　迁移转化思想是初中最为重要数学思想方法。迁移转化思想就是借助于有关图形、性质、公式或题设把要解决的问题转化为我们已经熟悉的问题或容易解决的问题来解决。这种思想方法具有明确的目的性、指向性，往往表现为将抽象转化为具体、复杂转化为简单、未知转化为已知等。实现这种转化的常用方法有待定系数法、配方法、消元法、整体代入法以及化动为静、由一般到特殊等。
　　例如：（如图所示）圆柱底面周长为6厘米，AC是底面圆的直径，高BC=6厘米，点P是母线BC上一点，且PC=■BC。一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬行倒点P的最短距离是多少厘米？
　　分析：画出该圆柱体的侧面展开图如图，则蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为线段AP的长。在RtΔACP中，AC=■=5厘米。
　　解决这类问题要善于将空间图形转化为平面图形，采用“化曲为直”的方法，利用圆柱体的展开图，把求最短距离问题转化为求两点之间线段长度问题。

　　此外，在初中数学思想方法中还有整体思想，例如将(x+y+z)2中的(x+y)作为一个整体展开得[(x+y)+z]2等；变换思想，由一种形式转化为另一种形式的思想，如：解方程中的同解变换、定律公式中的命题等价变换、几何图形中的等积变换等；类比思想，如类比一元一次方程解法教学一元一次不等式解法，类比相似三角形教学全等三角形，类比轴对称图形教学旋转对称图形和中心对称图形等；统计思想，在初中阶段要求学生从中提炼并掌握一些处理数据的方法，用来解决一些实际问题；还有归纳思想、函数思想、辩证思想等。
　　总之，在数学教学中，只要切切实实把握上述几个典型的数学思想方法，以数学知识为载体，结合课程标准和教学计划，按照启发、吸收、消化和发展的认知规律进行总体策划，分阶段、有步骤地实施。同时要注意这些数学思想方法的运用过程。只要我们教师课前精心设计，课上精心组织，充分发挥学生的主体作用，多创设问题情境，多给他们机会，就能达到我们的教学目标，从而培养学生的数学素养提高学生的综合能力。

• 【发布时间】2018/6/2 11:01:43
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